Для наглядности рассмотрим в чем заключается метод Симпсона. Для этого разобьем отрезок интегрирования на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке ,,…,,…, подынтегральную функцию ¦(х) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
¦(x)»j i(x)=aix
+bix+ci, xi+1³ x ³xi-1
В качестве j i(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi),
Mi+1(xi+1,yi+1): (x-xi)(x-xi+1) (x-xi-1)(x-xi+1) (x-xi-1)(x-xi)
j i(x)= yi-1+ yi+ yi+1; (xi-1-xi)(xi-1-xi+1) (xi-xi-1)(xi-xi+1) (xi+1-xi-1)(xi+1-xi)
Проведя вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:
S=h/3(y0+4y1+2y2+4y3+2y4+…+2yn-2+4yn-1+yn).
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
¦(x)dx»h/3
Полученное соотношение и есть формула Симпсона. Её также можно получить и другими способами, например, комбинированием формул прямоугольников и трапеций или двукратным применением метода трапецій при разбиении отрезка на части с шагами h и 2h. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид:
=(-h
/180)¦¢ (x).
Популярное:
Анализ и синтез автоматической системы регулирования электропривода углового перемещения Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущени ...